Мгновенная скорость при прямолинейном движении
Касательная к кривой на плоскости
Определение
Производная Найдем тангенс
угла между диагоналями
Итак, согласно предыдущим
двум определениям, производная
функции
в точке
,
правая производная
и левая производная
задаются, соответственно, формулами 
Свойства производных Экстремумы
ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y)
имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки
(x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y)
для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0):
. Примеры
решения и оформления задач контрольной работы
Замечания
Производные некоторых элементарных функций
Тройной интеграл в цилиндрических
и сферических координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы
по высшей математике
Найдём производную
функции
в точке
.
Рассмотрим
функцию
как отношение
Примеры Математика лекции и примеры решения задач
Приведем примеры вычисления частных
производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x
функции z=f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении
частной производной по y нужно считать константой переменную x.
Дифференциал
Теорема
Функция
имеет дифференциал
в точке
тогда и только тогда, когда она имеет производную
в этой точке; при этом
Производная композиции
Примеры
Примеры
Инвариантность дифференциала
Производная обратной функции
Производные некоторых элементарных функций
(продолжение)
Пример
Сводка основных результатов о производных
Производные высших порядков
Пример
Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
Производные функции, заданной параметрически
Пусть задана зависимость двух переменных
и
от параметра
,
изменяющегося в пределах от
до
:
Пусть функция
имеет обратную:
.
Тогда мы можем, взяв композицию функций
и
,
получить зависимость
от
:
.
Зависимость величины
от величины
,
заданная через зависимость каждой из них от параметра
в виде
,
называется функцией
,
заданной параметрически.
Производная функции, заданной неявно
Приближённое вычисление производных
Примеры и упражнения
Примеры и упражнения 2
Функции
и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения,
те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел
;
означает множество всех целых чисел
;
Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина
,
зависящая от переменного
.
Предположим, что это переменное
можно менять так, что выполняется некоторое условие
:
переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним
позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли
себя величина
каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу
.
Если это так, то это "что-то" называется пределом величины
при данном условии
для
и обозначается
Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях,
а потом перейдём к обсуждению общего определения.
Непрерывность
функций и точки разрыва
Определение Пусть функция

определена на некотором интервале

,
для которого

--
внутренняя точка. Функция

называется
непрерывной в точке 
,
если существует предел

при

и этот предел равен значению

,
то есть
Формула Тейлора представления числовой функции
многочленом Многочлен
,
наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом
Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции
,
мы сможем вместо сложного вычисления значений функции
приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена
.
Исследование функций и построение графиков Назовём
асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается
график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.
В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот:
вертикальные и наклонные.
Приближённое нахождение
корней уравнений
Определение
Пусть кривая

задана как график функции

и

--
некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция

дифференцируема в некоторой окрестности точки

,
так что при

из этой окрестности к графику

можно проводить касательные, составляющие угол

с осью

.
Кривизной кривой

в точке

(или при

)
называется число

Векторная
алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики
операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих
операций.
Линия и плоскость в пространстве Определения
и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система
координат и поверхность
. Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является
уравнением поверхности
в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности
удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности
, этому уравнению не удовлетворяют.
Кривые и поверхности
второго порядка Определение Кривой второго
порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
второго порядка
Определение, обозначения и типы матриц
Определение Матрицей размеров
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая
строк и
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы.
Линейные
пространства уравнения Определение 15.1
Системой
линейных уравнений с
неизвестными называется система уравнений вида 
Комплексные
числа Определение Числа вида
, где
и
-- вещественные числа, называются комплексными числами.
Свойства дифференцируемых функций
В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые
во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми
на данном множестве.
Заполните заявку и в кратчайшие сроки квалифицированные
специалисты выполнят ВАШ заказ за приемлемую цену
Диплом, курсовая,
реферат диссертация, билеты к экзаменам, контрольная на заказ