Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Двойка? Нет!
Графика
	Начертательная геометрия
	Практикум по решению задач
	Конспект лекций черчение
	Геометрическое черчение
	История искусств
	Тени Компьютерная графика
	Искусство Древней Греции
	Первобытное искусство
	Культура Древней Азии
	Компьютерная анимация
	Статуи фараона Египет
	История Древнего Рима
	Византия Константинополь
	Средневековая Западная Европа
	Белокаменное зодчество Руси
	Рисунок композиция
	Перспектива
	ЕСКД - констр. документация
	Инженерная графика
Математика
	Элементарная математика
	Кратные интегралы
	Математический анализ
	Векторный анализ
	Аналитическая геометрия
	Производная и диф. уравнения
	Математика 2 курс
	Лекции, конспекты
	Функции и их графики
	Математический анализ
	Комплексные числа
	ТФКП
*Физика*
	Физические законы механики
	Электричество. Магнетизм
	Колебания. Волны
	Ядерная физика Лекции
	Атомная и ядерная физика
	Электричество, электростатика
	Магнетизм, индукция
	Оптика волновая квантовая
	Основы физики и ТОЭ
	Молекулярная физика

*Информатика*
	Архитектура ЭВМ
	Пролог програмирование
	Лекции Пролог
	Учебник PHP
	Информационные технологии
	Web технологии
	Интернет
	Web безопасность
	GPRS
	Компьютерные сети
	Локальные сети
	Система доменных имен
	Основы вычислит. систем
	Вычислительные комплексы
	Операционные системы
	Windows 2000
	Windows server 2003
	Java учебник
	Примеры Java
	Базы данных
	Язык PHP
	Функции PHP A-C D-F G-I J-M N-O P-R S-T U-Z
	TurboPascal
*ТКМ*
Электротех. материалы
Лекции ТКМ
*Электротехника*
	Общая электротехника
	Электротехника
	ТОЭ Законы Кюрхгофа
	Электротехника конспекты
	ТОЭ
*Атомная энергетика*
	Реактор РБМК
	Реактор ВВЭР
	Реактор БН-600
	Атомные станции
	Юбилей Энергетики
	Ядерное оружие
*Готовые работы*
	Оформить заказ
	Дипломные, курсовые
	Купить контрольную
	Контрольные, расчетные
	Рефераты
	Лабораторные работы
	Курсовые расчеты

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора
Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Замена переменных в двойном и тройном интегралах

Исследования функции

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Формула Тейлора для экспоненты такова: $\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$
Получаем формулу Тейлора для синуса: $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Построение графика Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Примеры

        Пример Рассмотрим функцию $f(x)=xe^{x^2}$ . Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке . Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём :

$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2).$
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на :

$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $x\to0$ выражение $\tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$ , и поэтому может рассматриваться как остаточный член $R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для , а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.
Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.
        Пример Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и . Разложение для знаменателя имеет вид:

$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены и тоже имеют тот же порядок малости, что и , при $x\to0$ . Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$

$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина

Delphi \| Начертательная геометрия \| Построение проекции \| Линии \| Практикум по черчению \| Поверхность \| Инженерная графика \| ЕСКД
Типы задач \| Физика \| Многогранники \| Оформление чертежей \| Изображения \| Нанесение размеров \| Эскизы \| Сборочный чертеж