Аналитическая геометрия Исследование функций и построение графиков

Начертательная геометрия Практикум по решению задач натяжные потолки Москва Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД межкомнатные двери установка Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
Начертательная геометрия
Выполнение графических работ PageMaker
Инженерная графика
Высшая математика
Поверхности
Линия и плоскость
Векторная алгебра
Photoshop
Корни уравнения
Аналитическая геометрия
Формула Тейлора
Производные
Непрерывность функций
Дифференцируемость функций
Комплексные числа задачи
Линейные пространства
Матрицы Пределы
 Функции и их графики
Математический анализ
Линейная алгебра
База графических примеров
Дифференцирование исчисление
Интегральное исчисление
Физика Курсовые работы
Компьютерные сети
Локальные сети
Информатика
Турбо Паскаль
Знакомство с языком
Элементы языка
Типы данных Файлы
Динамическая память
Константы Процедуры
Модули Объекты
Возможности
Встроенный ассемблер
Библиотеки CRT GRAPH
Turbo Vision
Характеристика объектов
Видимые элементы
События Коллекции Потоки
Ресурсы
Объекты-контролеры
Практика использования
Варианты кодировки Среда
Знакогенератор ПК
Сообщения и коды
Тексты програм
Информационная безопасность
Сбор данных
Сканирование Инвентаризация

Уязвимость

  • Windows 95/98/ME
  • Windows NT
  • Windows 2000/XP
  • Novell NetWare
  • UNIX
  • Удаленных соединений
  • Web
    • Сетевые устройства
    Брандмауэры
    Атаки DoS
    Средства удаленного управления
    Расширенные методы
    Атаки на пользователей Internet
    Операционные системы
    Windows 2000
    Windows server 2003
    Базы данных
    SQL язык запросов
    Язык PHP
    Функции PHP A-C D-F
    G-I J-M N-O P-R S-T U-Z
    Интернет
    Web безопасность
    ТКМ
    Электротехника ТОЭ
    Атомные станции России
    Юбилей Атомной энергетики

    АЭС с реакторами

  • РБМК 1000
  • ВВЭР
  • БН-600
    • Ядерное оружие
     

     

     

    Асимптоты графика функции

    Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

    Возрастание и убывание функции

    Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

    Примеры

    Экстремум функции и необходимое условие экстремума

    ОпределениеПусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.    

    Примеры

    Достаточные условия локального экстремума

    Примеры

    Выпуклость функции

    Общая схема исследования функции и построения её графика

    Примеры

    Примеры исследования функций и построения графиков

    Пример  Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.

    Пример   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.

    Пример   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.

    Упражнения и задачи

    Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;

    Упражнение   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

     

    Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
    $ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
    $ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
    $ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

    Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

    $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

    Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

    Непрерывность функций и точки разрыва

    Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
    $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

    Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}

    Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

    Приближённое нахождение корней уравнений

         Определение Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
    Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число $\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

    Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

    Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

    Кривые и поверхности второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

    Определение, обозначения и типы матриц

    Определение Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

    Линейные пространства уравнения      Определение 15.1   Системой $ m$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

    Комплексные числа  Определение   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

    Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.