Приближённое нахождение корней уравнений

Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Элементарная математика
Кратные интегралы
Математический анализ
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Производная и дифференциальные
уравнения
Элементы векторной алгебры
Функции и их графики
Алгебраические структуры
Матрицы
Пределы
Комплексные числа
Формула Тейлора
Производные
Непрерывность функций
Линия и плоскость
Векторная алгебра
Нахождение корней уравнений
Асимптоты графика функции
Кривые и поверхности
Свойства дифференцируемых
функций
Бином Ньютона
Системы координат
Дифференцирование исчисление
Интегральное исчисление
Ряды Фурье
Функции нескольких переменны
Определенные интегралы
Неопределённый интеграл
ТФКП
Типовой расчет (задания из Кузнецова)
Вычисление площадей
Предел функции
Производная функции
Интегрирование тригонометрических выражений
Вычислить криволинейный интеграл
Провести полное исследование поведения функции
Определенный и неопределенный интеграл
Применение тройных интегралов
Криволинейный интеграл
Векторная функция
решение контрольной работы по математике

 

 

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

     Определение Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число $\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

Вершины кривых

Примеры

Найти интеграл . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Радиус кривизны

Упражнения

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения $ f(x)=0$. Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть выразить его корни $ x_1,x_2,\dots$ через известные постоянные (целые числа, числа $ e$, $ \pi$ и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Математика лекции и примеры решения задач Вычисление обратной матрицы

Отделение корней

Пример

Метод простого перебора

Метод половинного деления

Пример

Метод простых итераций

Теория

Теорема   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.

Метод секущих

Метод одной касательной

Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид $\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_i)}f(x_i)$

Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Пример  Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд.

Приближённое нахождение точки экстремума

Метод простого перебора

Метод почти половинного деления

Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции $ f(x)=x^4-5x^3+6x-1$.

Упражнения

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

Кривые и поверхности второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка $\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

Линейные пространства уравнения      Определение 15.1   Системой $ m$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными называется система уравнений вида $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

Комплексные числа  Определение   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Заполните заявку и в кратчайшие сроки квалифицированные специалисты выполнят ВАШ заказ за приемлемую цену

Диплом, курсовая, реферат диссертация, билеты к экзаменам, контрольная на заказ

Вид работы
Направление работы
? Все предметы (511)
Срок, дней

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)
ремонт компьютеров на выезде