Пусть в трехмерном пространстве задана декартова
прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение
плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой,
параллельны друг другу.
Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений
прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными.
Рассмотрим, как решить такую задачу.
Для того, чтобы написать параметрические
уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты
направляющего вектора.
Пример
Найдите точку пересечения прямой

и плоскости

.
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти
угол между этими прямыми.
Пример Найдите
точку
, симметричную точке
относительно прямой
:
Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы
будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных
учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел
;
означает множество всех целых чисел
;
Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина
,
зависящая от переменного
.
Предположим, что это переменное
можно менять так, что выполняется некоторое условие
:
переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним
позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли
себя величина
каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу
.
Если это так, то это "что-то" называется пределом величины
при данном условии
для
и обозначается
Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях,
а потом перейдём к обсуждению общего определения.
Непрерывность
функций и точки разрыва
Определение Пусть функция

определена на некотором интервале

,
для которого

--
внутренняя точка. Функция

называется
непрерывной в точке 
,
если существует предел

при

и этот предел равен значению

,
то есть
Производные и дифференцирование функции
Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная
функции
в точке
,
правая производная
и левая производная
задаются, соответственно, формулами
Формула Тейлора представления числовой функции многочленом
Многочлен
,
наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом
Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции
,
мы сможем вместо сложного вычисления значений функции
приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена
.
Исследование функций и построение графиков Назовём
асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается
график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.
В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот:
вертикальные и наклонные.
Приближённое нахождение
корней уравнений
Определение
Пусть кривая

задана как график функции

и

--
некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция

дифференцируема в некоторой окрестности точки

,
так что при

из этой окрестности к графику

можно проводить касательные, составляющие угол

с осью

.
Кривизной кривой

в точке

(или при

)
называется число

Векторная
алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики
операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих
операций.
Кривые и поверхности второго порядка
Определение Кривой второго порядка называется
множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
Определение, обозначения и типы матриц
Определение Матрицей размеров
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая
строк и
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы.
Линейные
пространства уравнения Определение 15.1
Системой
линейных уравнений с
неизвестными называется система уравнений вида 
Комплексные
числа Определение Числа вида
, где
и
-- вещественные числа, называются комплексными числами.
Свойства дифференцируемых функций
В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые
во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми
на данном множестве.