Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры

Уравнение поверхности

Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Нахождение дифференциала функции

Уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат.

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

В этом случае плоскость проходит через начало координат и других точек пересечения с осями нет.

Комбинаторика Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю).

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Замечание Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора.

Пример Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой :