Курс лекций Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

Окружность

Эллипс

Определение 12.3   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.       

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола

Пример   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

 Пример   Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую

Поверхности второго порядка

Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

Сфера

Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Гиперболоиды

 Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид


Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Параболоиды

Определение  Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.    

Параллельный перенос системы координат

 Пример Нарисуйте поверхность .

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел ;
означает множество всех целых чисел ;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это "что-то" называется пределом величины при данном условии для и обозначается

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений

     Определение Пусть кривая задана как график функции и  -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол с осью .

Кривизной кривой в точке (или при ) называется число

Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

Линейные пространства уравнения      Определение 15.1   Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Комплексные числа  Определение   Числа вида , где и  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.