.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Пример.  Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если 15×- 18×- 10×+ 12× = 15 + 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

 Пример. Найти угол между векторами и , если . Т.е.  = (3, 4, 5), = (4, 5, -3) ×= 12 + 20 - 15 =17 : . cosj =  

 

Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны. = (m, 1, 0); = (3, -3, -4) .  

Пример. Найти скалярное произведение векторов  и , если ()() = = 10 + + 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Занятие № 4. Интегрирование рациональных дробей

 

 Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.

 Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

.

 В последующем постоянно предполагается, что дробь  несократима, т.е. многочлены   не имеют общих корней. Рациональная дробь   называется правильной, если , и неправильной, если . Рассмотрим несколько примеров.

.

 

Здесь дробь  правильная, так как ; дробь  также правильная, так как ; дробь  неправильная, так как . Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно получить целую часть этой дроби – многочлен степени , плюс некоторую правильную рациональную дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде

, где - многочлен степени , а - правильная рациональная дробь.

 Пример. Выделить целую часть дроби .

Делим числитель на знаменатель «углом»:

.

  Замечание. В простейших случаях, когда, например, , эту работу можно выполнить быстрее:

  ,

 .

 Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.

 Хорошо известно, что квадратный трехчлен с вещественными корнями   разлагается на линейные множители: .

В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида

 ,

причем указанные трехчлены не имеют вещественных корней. При этом говорят, что корень   - простой, корень  имеет кратность  к.

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
На главную