Уравнение плоскости в отрезках.
Если
в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D 
,
заменив 
,
получим уравнение плоскости в отрезках: 
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно
с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме. 
где 
- радиус- вектор текущей
точки М(х, у, z), 
- единичный
вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала
координат. a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого
перпендикуляра. В координатах это уравнение
имеет вид: xcosa + ycosb + zcosg - p = 0. Математика примеры решения задач Поверхностные
интегралы первого рода Если при стремлении к нулю шага разбиения
l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел
называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади
поверхности. 
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0,
у0, z0) до плоскости
Ах+Ву+Сz+D=0 равно: 
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3;
12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C =
12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)
= 0. 
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно
плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 
параллелен искомой плоскости.
Получаем: 
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,
-1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости
х + у + 2z
– 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости 
(A, B, C).
Вектор 
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали 
(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям,
а плоскости взаимно перпендикулярны, то 
Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к.
точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению
этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1
- 2×4 + D = 0; D
= -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x
- 7y – 2z – 21 = 0.
Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали 
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет
вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим
в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0