.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Уравнение линии на плоскости.

 Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.  

Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.  Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.  Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости. Математика примеры решения задач Дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

 Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах   где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.

  Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.

 Доказательство. Из подстановки следует, что  . Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:

 

 После  замены  их значениями получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка  в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. После замены  их значениями, получим

, где , .

 Пример. Найти самостоятельно интеграл  .

Универсальная подготовка (в силу ее  всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.

 Интегралы вида  .

Здесь возможны следующие случаи.

 1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:

.

 

  Пример. Найти интеграл .

Так как  и заменяем .

 После упрощений получим ,

.

  2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени  и используем формулы .

 

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
На главную