.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.   Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.   Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой. уравнение этой прямой в отрезках: уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) нормальное уравнение прямой: cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.   Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

 Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2. Уравнение прямой имеет вид: a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит по условию задачи. Итого:  или х + у – 4 = 0.  

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Уравнение прямой имеет вид: , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.  

Занятие № 3. Интегрирование по частям

  Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

 Если заданный интеграл  не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение  разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл  был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.

  1. Интегралы, содержащие произведение многочлена  на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида

 

Так как интегралы от  по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.

 ,

Окончательно можно записать:

,

.

  Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,

т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.

 2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида

.

В интегралах  и  надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить

по-разному. Найдем, например, интеграл .

.

Повторяем этот процесс.

.

.

Здесь в правой части находится исходный интеграл .

. Решив это уравнение относительно , найдем , .

 Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой

. Для нахождения интегралов  достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,

Так как , то , поэтому

,

.Отсюда следует, что

. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).

 3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании  с многочленами: 

 Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем  .

,

Полученный интеграл снова берем по частям.

Окончательно получаем ,

.

  Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл   относится к числу циклических. Действительно, полагая

 получим 

.

Полученный интеграл снова находим по частям

.

Итак, .

Отсюда  , .

 Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,

.

Интегрируя по частям трижды, находим, что

. После подстановки

.

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
На главную