.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1).

Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

 Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;   Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .  Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостоятельного решения:  Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0, 3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.   Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.  Ответ: { xy = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

Тригонометрические подстановки

 

 Интегралы  удобно находить с помощью тригонометрических подстановок. При этом часто используются тригонометрические тождества

.

В интеграле  к цели приводит подстановка , . В итоге получаем интеграл , не содержащий иррациональностей.

При этом возврат к старой переменной «х» проще выполнить с помощью прямоугольного треугольника. Так как , то получаем треугольник со сторонами (теорема Пифагора). Отсюда находится любая тригонометрическая функция.

 
 

 а х

 t

 

 

  Пример. Найти .

 Решение. ,

 а х ,

   , ,

 .

Интеграл находится с помощью подстановки .Тогда ,.

. В качестве упражнения найдите интеграл . Наконец, в интеграле  цель достигается с помощью подстановки .  Тогда 

. Здесь использовалось тождество , откуда . Возврат к старой переменной «х» выполняется также с помощью прямоугольного треугольника.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Полагаем . После замены переменных получим .

Так как .

.

Решить самостоятельно

 

 Найти интегралы

 

Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. §2. Ряды с положительными слагаемыми. Признаки сходимости. §3. Ряды с членами произвольного знака. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Признак Лейбница. Вычисление погрешности при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда. Представление о скорости сходимости ряда.
На главную