Кривые второго порядка. Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
.
y M(x, y) b r1 r2 x F1 a F2 c По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе
произвольную точку М(х, у). Тогда: 
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
=
Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой
осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты,
уравнения которых 
Определение. Отношение 
называется
эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами,
а – действительная полуось. С учетом того,
что с2 – а2 = b2: 
Если а = b, e = 
, то гипербола называется равнобочной (равносторонней)
. Определение. Две прямые, перпендикулярные
действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на
расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:
.
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу
y a/e d
M(x, y)
r1
0 a F1 x
OF1 = c
Из очевидных геометрических соотношений можно
записать: a/e +
d =
x, следовательно
d = x – a/e. (x –
c)2
+ y2 = r2
Из канонического уравнения: 
, с учетом b2 = c2 – a2: 
Тогда т.к.
с/a = e, то r = ex – a. Итого: 
. Для левой ветви гиперболы доказательство
аналогично. Теорема доказана.