.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

  Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

  Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

 

 у

 А М(х, у)

 

 

 

 

 

 


  О F x

 


  p/2 p/2

  Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

  Из геометрических соотношений: AM = MFAM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

 

 Уравнение директрисы: x = -p/2.

 

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

 

  Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

Занятие № 1. Интегрирование по формулам

 

  Цель занятия – усвоить и запомнить формулы 1-4 групп, прежде всего формулы (1) - (3) интегралов от степенных функций. Основная формула (1)

,  показывает, что при интегрировании степени ее

показатель возрастает на одну единицу. Так, например, 

.

 Приведем более сложный пример: 

 .

Здесь воспользовались известным разложением .

Разделив числитель на знаменатель, получим

 

 ,

 ,

 ,

 .

Интеграл  можно найти двумя способами. Так как , по свойству 8 при  и  находим

.

 Другой способ. Полагая здесь , получим

 

Говорят, что интеграл поправлен на 1/7, иначе говоря, под знак дифференциала подведено основание 7х – 5, чтобы получить точно табличную формулу (1).

 Рассмотрим интеграл . Полагая здесь , , получим

.  Формулы (2) и (3) суть частные случаи основной формулы (1) при  и . Их рекомендуется запомнить, так как они будут часто встречаться в последующем. Приведем примеры.

 Так как ,  (по свойству 6 неопределенного интеграла),  (свойство 8). Аналогично ,, поскольку . Во- обще свойства 6 - 8 неопределенного интеграла надо хорошо усвоить. Это позволяет находить простейшие интегралы самым коротким способом. Приведем еще несколько примеров.

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

 Теперь обратимся к формуле (4): . Она применяется в тех случаях, когда в числителе стоит дифференциал знаменателя, точнее, когда в числителе может быть получен дифференциал знаменателя. Приведем примеры.

. Так как , то

,

.

  Рассмотрим интеграл от показательной функции и ее частный, но очень важный случай - интеграл от экспоненты:

 

 (свойство 6),

  (свойство 8),

  Здесь , поэтому

,

. Здесь , поэтому

.

 

  Замечание. Поскольку операция интегрирования является обратной по отноше-нию к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтеграль-ная функция. Так, в последнем примере .

 Обратимся к интегрированию гиперболических функций.

 Найти интеграл .

Так как , получим 

.

  Найти интеграл .

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
На главную