.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат.

 Определение. Точка О называется полюсом, а луч lполярной осью.

 Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 

 

 

 


  Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

  Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj; y = rsinj; x2 + y2 = r2

 

Две задачи математического анализа

 Первая задача состоит в отыскании производной от заданной функции . Напомним, что с помощью производной решаются многие задачи математики и физики. Так, например, если точка движется по закону , где t – время, а S – пройденный путь, то скорость движения  есть производная от пути по времени, т. е. , а ускорение  равно . Если масса неоднородного стержня изменяется по закону , то его плотность в точке х есть производная . В геометрии с помощью производной решается задача о проведении касательных к заданным кривым. Эти примеры можно продолжить.

  Теперь обратимся к обратной задаче: как по заданной производной восстановить саму функцию ?

 Как, например, зная скорость движения , найти закон изменения пройденного пути ? Как найти массу стержня переменной плотности ? В общем случае задача ставится следующим образом: пусть задана функция , производная от которой совпадает с заданной функцией: . Такая функция   называется первообразной функции . Так, например, если , то , так как . Если , то , так как . Обратите внимание на то, что для заданной функции   первообразных существует бесконечно много, так как  есть некоторая первообразная . Любая функция вида , где , есть также первообразная , так как .

 В силу этого множество всех первообразных заданной функции  принято обозначать символом  и называть неопределенным интегралом от функции . Итак, по определению,  .

 Примеры., так как .

 , так как .

 , так как .

Приступая к изучению неопределенного интеграла, следует обратить внимание на то, что

 1) эта операция многозначная;

  2) в техническом отношении интегрирование для студентов представляется более сложным, чем отыскание производных. Чтобы научиться интегрировать, нужна практика. Только решение большого числа разнообразных примеров позволит выработать некоторые навыки в интегрировании;

 3) обратите внимание на запись интеграла. Здесь под знаком интеграла стоит дифференциал аргумента функции . Если же задана сложная функция , где , то все формулы интегрирования имеют смысл только в том случае, когда под знаком интеграла стоит дифференциал . Это обстоятельство нужно иметь в виду постоянно. В формуле  будем подразумевать, что ищется интеграл от сложной функции , где , х – независимая переменная;

  4) существуют шесть тригонометрических функций:

. Последние две функции определяются как величины, обратные по отношению к , т. е. .

Это позволяет известные формулы тригонометрии

  записывать в целом виде:

.

 Таблицы производных и интегралов поэтому имеют более простой вид. При интегрировании гиперболических функций , ,  следует помнить основные формулы, связывающие их: , а также формулы понижения ;

  5) поскольку операции дифференцирования и интегрирования тесно связаны, ниже приводятся основные свойства производной и формулы дифференцирования, а далее – аналогичный материал, касающийся неопределенного интеграла.

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
На главную