.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

 Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

 Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

 Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

 .

 

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Задание 8.

8. .

Решение:

1) Сначала сделаем чертеж замкнутой области D, построив прямую затем,  – это ось Oy,  – это ось Ox.

 

Получили DOAB.

2) Теперь исследуем функцию z (x; y) на экстремум внутри DOAB:

а)

б)

  ,

т.к. внутри DOAB , , то в системе уравнений можно сократить на x и y, тогда имеем:

.

Точка Po (1; ) лежит внутри DOAB. Вычислим значение данной функции в стационарной точке Po (1; ):

,

.

3) Далее найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции   на границах области D.

  – на этой границе значение функции равно 0.

  – на этой границе .

  – это уравнение связывает 2 переменные.

Найдем одну из них, например, , на этой прямой , а данная функция может быть выражена через одну переменную x, т.е. подставим  в функцию , получим:

.

Согласно правилу, указанному для функции одной переменной поступаем так:

а) находим стационарные точки внутри [0; 6], для этого находим , решаем уравнение :

 

  – граничная точка, как было сказано .

При , , т.е. P (4; 2) на границе AB.

б) Вычислим .

4) Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции  в области D: (в виде DOAB) надо искать среди следующих ее значений:

внутри DOAB: ;

на границах  (в том числе и в вершинах) ; на границе .

Из полученных значений функции  видим, что наибольшее значение  функция принимает в точке Po (1; ), а наименьшее  на границе AB в точке P (4, 2).

Ответ: .

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную