.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 

 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 

  Находим компоненты направляющего вектора прямой.

  Тогда канонические уравнения прямой:

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

 

 Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

  Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

 

Итого:

Задание 3.

3.

Решение:

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения без правой части)   и частного решения исходного неоднородного уравнения , т.е. результат решения данного дифференциального уравнения

1) В начале находим общее решение уравнения .

Составляем его характеристическое уравнение: , решаем это квадратное уравнение:

.

т.е. характеристическое уравнение имеет 2 различных вещественных корня.

Согласно формуле  находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Найдем теперь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: yч.p.н.

Эта функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов (методом подбора) в том случае, когда его правая часть ,

тогда частное решение находят по формуле:

, где

r – кратность корней  (для дифференциальных уравнений второго порядка r = 0,1,2), N = max (n, m).

В данном дифференциальном уравнении правая часть , .

Т.к. ,

,

 

Степень многочлена  .

Корни   не кратны корням характеристического уравнения, значит .

Следовательно, , т.е. вид частного решения устанавливается по виду правой части данного уравнения.

Теперь надо найти коэффициенты A, B, C.

Для этого дифференцируем 2 раза  и подставляем в дифференциальное уравнение требуемые функции y, , .

, получаем равенство:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему уравнений:

,

 .

Подставим найденные коэффициенты в функцию: .

3) Искомое общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

Замечание: В общем случае для решения линейных неоднородных уравнений   применяется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Этот метод достаточно сложен: связан с решением системы уравнений и вычислением интегралов. Поэтому в случаях, когда правая часть уравнения  имеет указанный вид, лучше задачу решать методом неопределенных коэффициентов.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную