.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Свойства линейных пространств.

 1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

 2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

  3) Для каждого Î L верно 0× = 0

  4) Для каждого a Î R и Î L верно a×=

 5) Если a× = , то a = 0 или  =

  6) (-1)   = -

 

Линейные преобразования.

  Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

 Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

 

  Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 Пример 1. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель имеет разложение  . Отсюда следует, что  - простой вещественный корень, ему соответствует дробь ; - вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей . Поэтому данная дробь представлена суммой .

 Пример 2. Разложить дробь .

 Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому  .

 Пример 3. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель 

имеет вещественные простые корни: . Двучлен  веществен-ных корней не имеет: если , то . Поэтому разло-жение дроби имеет вид 

  .

Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов  разложения: А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.

 Первый способ. Дробь  представлена в виде

 .

Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.

. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».

Пусть, например,  при  при . Таким образом, получили разложение дроби .

 Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.

 Второй способ покажем на следующем примере:

,

. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда  или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: . Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим . Подставим эти значения во второе равенство: . Получаем разложение дроби .

 Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .

  Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь  на простейшие и проинтегрировав полученное  равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:

Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:

.

Третий интеграл был рассмотрен выше.

 Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл  степенной, так как

.

Для нахождения интеграла  выделим из трехчлена полный квадрат:

.

Тогда  . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную