Пример. Является ли А линейным преобразованием. А
=+
; ¹ 0.
Запишем преобразование А для какого- либо элемента 
. А = +
Проверим,
выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только
при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.
Определение: Если в пространстве L имеются
векторы линейного преобразования 
, то другой вектор 
является линейной комбинацией
векторов 
.
Определение: Если 
только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.
Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.
Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.