Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде: x¢ = x + y
y¢ = y + z
z¢ = z + x
x¢ = 1×x + 1×y + 0×z
y¢ = 0×x + 1×y + 1×z
z¢ = 1×x + 0×y + 1×z
A = 
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Определение: Если вектор 
переводится в вектор 
линейным преобразованием
с матрицей А, а вектор в вектор 
линейным преобразованием с матрицей
В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию,
переводящему вектор в вектор (оно называется произведением
составляющих преобразований).
С = В×А
Пример.
Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование
В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования,
переводящего вектор в вектор .
С = В×А
Т.е.
Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.