.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

в некотором базисе .

  Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

 или 

  Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 

  Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

 Таким образом, можно найти собственный вектор 1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

  Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

  Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением  l.

 Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

  Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений.  (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

  Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

 Неопределенный интеграл

 Теорема существования. Если функция  непрерывна в заданном промежутке , то в этом промежутке она имеет первообразную.

Основные свойства неопределенного интеграла

 

1. .  2.

3. .  4. .

5. .

6. Если , то .

7. Если , то .

8. Если , то .

 

Методы интегрирования

 

  1. Метод замены переменной (способ подстановки) 

 .

 2. Метод интегрирования по частям:  .

Таблица неопределенных интегралов

 

  1. Интеграл от степенной функции :

;  (1) . (2) 

.  (3)

 2. .

 3. Интеграл от показательной функции :

.

  4. Интегралы от тригонометрических функций:

;

.

 

 5. Интегралы от гиперболических функций:

;

.

 6. Интегралы, содержащие выражение вида :

.  (5) . (6)

.  (7) . (8)

.  (9) . (10)

 7. Часто встречающиеся интегралы:

.

.

.  (11)

. (12)

.  (13)

. (14)

 8. Реккурентные соотношения

. (15)

.

.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную