.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

  Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

 

  Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

 

  Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

  Получаем:

Из системы получается зависимость: x1x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

 

  Собственный вектор можно записать: .

 

 

  Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

  Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:  

  Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

  Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную