.

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

  Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2
Ф(х1, х2) = а11
 
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1 и х2.
 
Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3
 
 
 
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.
  Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.
 
  Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.
Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11, то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.
Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
 
  Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1 и у2 – координаты вектора  в базисе .
  Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
 
  Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .
  Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
  Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
  При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным  и . Тогда:
 
 Тогда .
 
Выражение   называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Глава 3. §1. Производная функция в точке, ее геометрический смысл, уравнение касательной к графику функции. Экономический смысл производной, эластичность функции. §2. Схема вычисления производной. Производная суммы, произведения, частного. §3. Сложные функции. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
На главную