Пример. Показать, что при n®¥ последовательность
3, 
имеет
пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно,
что существует такое число n, что 
, т.е. lim {xn} = 2. Вычисление площадей фигур Математика примеры решения задач при
параметрическом задании границы
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.
xn ® a; xn ® b; a ¹ b.
Тогда по определению существует такое число e >0, что
Запишем
выражение: 
А
т.к. e- любое число, то 
, т.е. a =
b. Теорема
доказана.
Теорема. Если xn ® a, то 
.
Доказательство. Из xn ® a следует,
что 
. В то
же время:
, т.е. 
, т.е. .
Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность
не имеет предела, хотя 