Рассмотрим
последовательность {xn} = 
.
Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
или, что то же самое
Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:
- Математика примеры решения задач Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах
Каждое слагаемое
в выражении xn+1 больше
соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким
образом, последовательность {xn} возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.
Итак,
последовательность 
- монотонно возрастающая и ограниченная сверху,
т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
Из
неравенства 
следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:
переходя к пределу, получаем
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…
Аналогично
можно показать, что 
, расширив требования к х до любого действительного
числа:
Предположим: 
Найдем
Число е является основанием натурального логарифма.
Выше представлен график функции y = lnx.