Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если 
.
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Математика примеры решения задач Элементарная математика
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. 
.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогда
f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)
A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогда
A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит
