Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 

 

 Данное равенство называется уравнением Эйлера.

 Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

 

1)

2)

3)  где m – целое число.

 Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

 Для комплексно – сопряженного числа получаем:

 

 Из этих двух уравнений получаем:

 

 

 Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 

 Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

 

 

 Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 

 

 .

Интеграл  путем выделения из трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (5) - (7). Пусть, например, надо найти интеграл . Так как ,

найдем

 

  Замечание. Здесь использовалась известная формула .

Если в знаменателе стоит неприведенный трехчлен, то старый коэффициент рекомендуется вынести за знак интеграла,  например:

 В интеграле  производная знаменателя равна  - многочлен первой степени, как и числитель . Поэтому числитель  представляем в форме , причем числа М и N находим из условий, что . Тогда . Первый из этих интегралов – табличный , где . Второй интеграл – только что найденный интеграл .

 Пример. .

 Решение. Так как , полагаем , откуда  

, так как ,

,

.

Интеграл  после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (7), (9), (10) . Так как , . Интеграл  находится подобно интегралу . Выделив из трехчлена полный квадрат, получим

. Первый из них – это табличный интеграл (3)  а второй – только что найденный интеграл .

. Так как , получим , откуда .

, так как

.

  (формула (10)).

 Замечание. Нахождение чисел М и N основано на известном свойстве многочленов: два многочлена степени «u» тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях «х» и равны их свободные члены. Поэтому из условия  следует, что , откуда т. е.  . Впрочем в интегралах  и  выделение из числителя дифференциала трехчлена можно провести прямым путем. Пусть, например, надо найти интеграл . Здесь .

Поэтому

.

 

Приложения дифференциального исчисления. §1. Вычисления пределов по правилу Лопиталя. §2. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Второе достаточное условие экстремума (теорема). Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. §3. Характер выпуклости графика функции, точки перегиба. Необходимое условие перегиба
На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой