Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

 Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n  в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

 

 

 - число сочетаний из п элементов по k.

 

 Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

 Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

 Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

 

  Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

 

  Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

 Задание 2.

2.

Решение

Убедившись, что данное уравнение линейное, приведём его к виду: . Разделив левую и правую части данного уравнения на коэффициент при , равный sinx, получим ,

сравнивая с уравнением (*) имеем

I способ решения:

Применим формулу общего решения для таких уравнений:

подставим в эту формулу P(x) и Q(x) данного уравнения, получим .

Вычисляем сначала интегралы, стоящие в степени.

,

полагаем

тогда общее решение данного уравнения ,

далее при преобразовании общего решения используем формулу , при  (основное логарифмическое тождество), а также свойство логарифмов: .

тогда

.

Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:  (**).

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим в общее решение .

Тогда получим уравнение , но .

Значит, .

Найденное значение С подставим в общее решение, тогда получим искомое частное решение:

.

Ответ:  .


На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой