Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.

 Отметим следующие свойства:

 1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

 2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

 3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

 4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

 Определение. Если А – любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

 Определение. Множество  называется замыканием множества А. Множество FrA = CA называется границей множества А.

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы.

Задание 1.

1. Рассмотри уравнение

Найдём его общее решение, используя обозначение ; ; ; (переменные разделили).

Интегрируем уравнение  (C – произвольная постоянная интегрирования). Вычисляем интегралы, получим

 

 

Получим общее решение данного уравнения. Нетрудно проверить, что функция  удовлетворяет данному уравнению при любом значении С, при различных значения С получаем различные решения. Геометрически получаем семейство интегральных кривых в виде гипербол (график обратной пропорциональной зависимости).

Найдём частное решение, удовлетворяющее, например, начальному условию y=1, x=1. Подставим эти значения в функцию  , получим ; тогда  - частное решение данного уравнения, геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Найдём второе частное решение, удовлетворяющее условию . Поступая аналогично, получим уравнение , тогда частное решение , удовлетворяет начальному условию . Геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Таким образом, частным решением дифференциального уравнения  называется функция, которая получается из общего решения при определённом значении постоянной С.


На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой