Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Математика примеры решения задач Математический анализ, векторная алгебра

 Пусть E и F – топологические пространства. Множество E´F определяется как множество пар (p,q), где pÎE, a qÎF. Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если (p,q) Î E´F, то окрестность точки (p,q) – это любое множество, содержащее множество вида U´V, где U – окрестность точки p в E, a V– окрестность q в F.

  Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

  Например, в трехмерном евклидове пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.

Связность. 

  Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E. Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.

  Если Е и F – связные пространства, то произведение Е ´ F также связно.

Компактность.

  Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.

Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q, существует такая окрестность U точки p и такая окрестность V точки q, что UÇV=Æ.

  Любое евклидово пространство является хаусдорфовым. 

  Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово.

  Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.

  Определение. Покрытие топологического пространства E – набор множеств из E, объединение которых дает все пространство E. Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.

  Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.

Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.

  Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей  и , то их произведение есть подпространство в -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, A´B компактно.

  Примеры

 Многочлен  имеет простые вещественные корни

.

  Решение. Многочлен  имеет вещественный простой корень ; двукратный корень .

 Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:

.

Здесь - заданные числа,

 В последующем постоянно предполагается, что трехчлен  не имеет

вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.

 Примеры. Рассмотрим дроби

.

 Здесь - дробь первого типа, причем - дробь второго типа, где . - дробь третьего типа, где , причем трехчлен  вещественных корней не имеет. Дробь  принадлежит к четвертому типом, где .

 Дроби  и принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем .

 Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если  - простой вещественный корень знаменателя , то в разложении ему соответствует дробь первого типа ; если  - вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:

; если в знаменателе  имеется трехчлен без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа ; если, наконец, знаменатель  содержит множитель , то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов: .

Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель . Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.

 1. Найти все корни знаменателя  и определить их кратность.

 2. Написать разложение  на линейные и квадратные множители.

 3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.

 


На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой