Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

 

 Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

  2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 Доказательство.

1)      Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

  Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁), x₁ < e < x₂

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x₂) – f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Пределы Интеграл Типовые задачи С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

  Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

 Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

 y  y