Пример.
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример.
Пределы Интеграл
Типовые задачи С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо 
при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по
математике
Пример.
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
Тогда
интеграл вида 
можно путем выделения
в знаменателе полного квадрата представить в виде 
. Сделаем следующее преобразование:
.
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим: 
Для исходного интеграла получаем:
Пределы Интеграл
Типовые задачи С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо
при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по
математике
Полученная
формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл 
.
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2
+ s приводится к табличному 
, а ко второму интегралу применяется рассмотренная
выше рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.
Пример:
