Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
Интеграл вида 
.
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.
Интегралы этого вида
вычисляются с помощью подстановки 
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую
функцию в рациональную.
, 
Тогда
Таким
образом: 
Пределы Интеграл
Типовые задачи С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо 
при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по
математике
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример.
Интеграл вида если функция R является
нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция
может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может
быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
