Пример.
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на
и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
=
=
Итого
=
=
Пример.
Пример.
Второй способ решения того же самого примера.
С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
, а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.
Пример.
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
К таким интегралам относится интеграл вида
, где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1)
- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))
2)
- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
3)
- интегральный логарифм
4)
- приводится к интегральному логарифму
5)
- интегральный синус
6)
- интегральный косинус
