Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Интегральное исчисление Определенный интеграл

  Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 y

  M

 

 

 

 

 

  Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

  [an error occurred while processing this directive]

[x₀, x₁] ® m₁, M₁;  [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

 

  Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

  Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а  m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

 

  Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e <  x₂,  … , x_n-1 < e < x_n.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

 

  Следовательно,

 

  Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

  Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

  [an error occurred while processing this directive]

Если  , то

 

  Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

  Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

  Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

 

  Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.