Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
.
Тогда 
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
Обозначение: 
Аналогично определяется частная производная функции по у.
Пределы Интеграл
Типовые задачи С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо 
при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по
математике
Геометрическим смыслом частной производной (допустим 
) является тангенс угла наклона
касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
здесь
;
Тогда получаем
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
Пределы Интеграл
Типовые задачи С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо
при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по
математике
Определение. Выражение 
называется полным приращением функции
f(x, y) в
некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
