Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Формула Тейлора Интегральное исчисление

Тейлор (1685-1731) – английский математик

  Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

-         это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

[an error occurred while processing this directive]

 Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена P_n(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

   (1)

  Многочлен P_n(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

  Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

   (2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

   (3)

  Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

  Подставляя полученные значения C_i в формулу (2), получаем:

  Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину R_n+1(x). Тогда:

[an error occurred while processing this directive]

f(x) = P_n(x) + R_n+1(x)

Рассмотрим подробнее величину R_n+1(x).

  y Как видно на рисунке, в

 точке х = а значение мно-

 f(x) R_n+1(x) гочлена в точности совпа-

 дает со значением функции.

 P_n(x) Однако, при удалении от точ ки х = а расхождение значе- ний увеличивается. 

 Иногда используется другая запись для R_n+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).

 Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x₀, x – a = Dx, x = x₀ + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

где 0 < q < 1

  Если принять n =0, получим: f(x₀ + Dx) – f(x₀) = f¢(x₀ + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

 Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

 При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.