Другие разделы курса математики технического университета

Задачи
Практикум
Карта сайта

Учебник высшей математики Примеры решения задач

Примеры решения задач по математике
Элементарная математика
Примеры решения задач курсовой
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Курс лекций математического анализа
ТФКП
Типовой расчет по высшей математике
Введение в математический анализ
Определённый интеграл
Замена переменных
Числовые ряды
Правила вычисления неопределенных интегралов
Дифференциальные уравнения
Контрольная работа
Линия и плоскость в пространстве
Пределы
Непрерывность функций и точки разрыва
Производные и дифференцирование функции
Формула Тейлора
Исследование функций и построение графиков
Приближённое нахождение корней уравнений
Векторная алгебра
Линия и плоскость в пространстве
Кривые и поверхности второго порядка
Матрицы
Линейные пространства
Комплексные числа
Свойства дифференцируемых функций
 
 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

 Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

 Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Найти формулу вычисления объема шара

Элементы теории поля

Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом  от вектора  по ориентированной кривой L.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

1. Если дифференциальное уравнение порядка   имеет вид , т.е. не содержит искомой функции и ее производных до порядка   включительно, то порядок уравнения может быть понижен с помощью подстановки .

 

Пример. Проинтегрируем уравнение .

Уравнение не содержит переменной y. Полагая   (при этом ), получаем уравнение Клеро , оно имеет общее решение   и особое решение   (см. пример 8).

Возвратимся к переменной y в формуле общего решения: , и в формуле особого решения: . Проинтегрировав последние равенства, получим общее решение исходного уравнения   и его особое решение  .

 Пример. Решим неоднородное уравнение .

 Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение   имеет корни , поэтому    - общее решение однородного уравнения.

Общее решение исходного уравнения будем искать  методом вариации произвольных постоянных в виде  .

Функции   и   удовлетворяют системе (7):

 Поэтому ,  .

Интегрируя, находим

,  ,  где    - произвольные постоянные. Общее решение  исходного уравнения имеет вид

.

Упростив это выражение, получим

  .

На главную