Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

  Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

  Доказательство. (необходимость)

Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

 выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

  Сформулируем критерий Коши для ряда.

  Пределы Интеграл Типовые задачи С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

  Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

.

  Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

  1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд  является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

  Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

  2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)ⁿ⁺¹+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

  Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.  при любом n.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)