Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

  Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

  Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

  Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  мажорируется числовым рядом .

  Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как  всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

  Пределы Интеграл Типовые задачи С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

  Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

  1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

  Если члены ряда   - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

  2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

  Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

  Если члены ряда   сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

  На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)