|
| ||
|
|
Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"
Математический анализ Дифференцирование исчисление Функции и их графики Ряды Комплексные числа Векторная алгебра Производные Интегральное исчисление Матрицы Пределы Линейная алгебра ТФКП
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция 
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным, если его правая часть
f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно
своих аргументов.
Любое уравнение вида 
является однородным, если функции P(x,
y) и Q(x,
y) – однородные
функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение 
[an error occurred while processing this directive]
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к.
параметр t вообще
говоря произвольный, предположим, что 
. Получаем:
Правая часть полученного
равенства зависит фактически только от одного аргумента 
, т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
Далее
заменяем y = ux, 
.
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
|
|
||||||||
|
|
||||||||