.|
| ||
|
|
Другие главы электронного учебника "Математика в примерах
и задачах"
Математический
анализ Дифференцирование
исчисление Функции
и их графики Ряды Комплексные
числа Векторная
алгебра Производные Интегральное
исчисление Матрицы Пределы Линейная
алгебра ТФКП
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли.
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
[an error occurred while processing this directive]
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения
двух функций .
При этом очевидно, что 
- дифференцирование по частям.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция 
может быть представлена
как 
и т.п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что
выражение 
.
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим
поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно
нулю.
Интегрируя, можем найти функцию v:
; 
;
Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
, С2 - произвольный коэффициент.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
|
|
||||||||
|
|
||||||||