Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Определение первообразной и её свойства

Пусть функция $ f(x)$ задана на некотором интервале $ (a;b)\sbs\mathbb{R}$ . Если найдётся такая функция $ F(x)$ , что при всех $ {x\in(a;b)}$ имеет место равенство

 

$\displaystyle F'(x)=f(x),$

то функция $ F(x)$ называется первообразной для функции $ f(x)$ .

        Пример 1.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

Для доказательства найдём производную от $ F(x)$ :

Геометрические приложения двойных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

$\displaystyle F'(x)=\Bigl(\frac{x^3}{3}\Bigr)'=\frac{1}{3}(x^3)'=\frac{1}{3}\cdot3x^2= x^2=f(x).$

Поскольку равенство верно при всех $ x\in\mathbb{R}$ , то $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .     

Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция $ f(x)$ задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:

$\displaystyle \mathcal{D}=\bigcup_{k}(a_k;b_k),\ k\in\mathbb{Z}.$

Назовём функцию $ F(x)$ первообразной для $ f(x)$ , если при всех $ x\in\mathcal{D}$ выполнено равенство $ F'(x)=f(x)$ .

        Пример 1.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\vert x\vert$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathcal{D}$ .

Действительно, при $ x>0$

$\displaystyle F'(x)=x'=1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{x}=1;$

при $ x<0$

$\displaystyle F'(x)=(-x)'=-1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{-x}=-1.$

    

Итак, $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , если $ f(x)$  -- производная от $ F(x)$ . Например, $ F(x)=x^2$  -- первообразная для $ f(x)=2x$ , поскольку $ (x^2)'=2x$ ; $ F(x)=\sin x$  -- первообразная для $ f(x)=\cos x$ , поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , и т. п. Тем самым, нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной. Найти первообразную по данной функции $ f(x)$ означает восстановить функцию $ F(x)$ по её производной.

Заметим теперь, что однозначно восстановить функцию $ F(x)$ по её производной невозможно даже в таком простом случае, когда $ F(x)=\mathrm{const}$ . Действительно, вычисление производной любой постоянной даёт $ F'(x)=0$ , так что различить, какое значение имела постоянная $ F(x)$ , по $ F'(x)$ невозможно. Следовательно, для $ f(x)=0$ любая постоянная служит первообразной: $ F(x)=C$ , где $ C\in\mathbb{R}$  -- произвольное число.

Ещё один такой пример:

        Пример 1.3   Поскольку $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $ (-\arccos x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $ x\in(-1;1)$ , то и $ F(x)=\arcsin x$ , и $ G(x)=-\arccos x$ служат первообразными для одной и той же функции $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ . Заметим, что $ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$ при $ x\in[-1;1]$ , так что $ G(x)=F(x)-\frac{\pi}{2}$ .     

Точно так же, любая функция вида $ G(x)=x^2+C$ , где $ C$  -- произвольная постоянная, служит первообразной для $ f(x)=2x$ ; любая функция вида $ G(x)=\sin x+C$ , где $ C$  -- постоянная, -- это первообразная для $ f(x)=\cos x$ и т. д. Очевидно, что имеет место такое общее утверждение.

        Теорема 1.1   Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ на интервале $ (a;b)$ и $ C$  -- произвольная постоянная. Тогда функция $ G(x)=F(x)+C$ также является первообразной для $ f(x)$ на $ (a;b)$ .

        Доказательство.     Покажем, что производная от $ G(x)$ даёт $ f(x)$ :

$\displaystyle G'(x)=(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)$

при всех $ x\in(a;b)$ . Таким образом, $ G(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ .     

Итак, если $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ , то множество всех первообразных для $ f(x)$ , во всяком случае, содержит все функции вида $ F(x)+C$ . Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции $ f(x)$ отличаются от $ F(x)$ лишь постоянным на $ (a;b)$ слагаемым $ C$ .

        Теорема 1.2   Пусть $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ и $ G(x)$  -- некоторая другая первообразная. Тогда

$\displaystyle G(x)=F(x)+C$

при некоторой постоянной $ C$ .

        Доказательство.     Рассмотрим разность $ {H(x)=G(x)-F(x)}$ . Поскольку $ {F'(x)=f(x)}$ и $ {G'(x)=f(x)}$ , то $ {H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0}$ . Покажем, что функция $ H(x)$ , такая что $ {H'(x)=0}$ при всех $ {x\in(a;b)}$ , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки $ x_0$ и $ x_1$ , принадлежащие $ (a;b)$ , и к отрезку между $ x_0$ и $ x_1$ (пусть это $ {[x_0;x_1]}$ ) применим формулу конечных приращений

$\displaystyle H(x_1)-H(x_0)=H'(x^*)(x_1-x_0),$

где $ x^*\in(x_0;x_1)$ . (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку $ H'(x)=0$ во всех точках $ x\in(a;b)$ , в том числе и $ H'(x^*)=0$ , то $ H(x_1)-H(x_0)=0$ . Следовательно, в произвольной точке $ x_1$ функция $ H(x)$ принимает то же значение, что в точке $ x_0$ , то есть $ {H(x)=C=\mathrm{const}}$ .

Для первообразной $ G(x)$ это означает, что $ G(x)-F(x)=C$ при любом $ x\in(a;b)$ , то есть

$\displaystyle G(x)=F(x)+C,$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 1.1   Заметим, что если равенства $ F'(x)=f(x)$ и $ G'(x)=f(x)$ выполнены для функций $ F$ и $ G$ не на одном интервале $ (a;b)$ , а на двух или больше непересекающихся интервалах $ (a_k;b_k)$ , $ k=1,2,\dots$ , то мы можем лишь утверждать, что, согласно доказанной теореме, $ G(x)=F(x)+C_k$ , где постоянные $ C_k$ могут быть разными для разных интервалов $ (a_k;b_k)$ . С другой стороны, очевидно, что при любых $ C_k$ функция $ G(x)=F(x)+C_k$ даёт ту же производную, что и $ F(x)$ , в любой точке $ x$ объединения интервалов.

Например, поскольку $ (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\frac{1}{\cos^2x}$ при всех $ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$ , где $ k\in\mathbb{Z}$ (то есть функция $ \mathop{\rm tg}\nolimits x$  -- это первообразная для функции $ \frac{1}{\cos^2x}$ на каждом из непересекающихся интервалов $ \bigl(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\bigr)$ области определения тангенса $ \mathcal{D}(\mathop{\rm tg}\nolimits )$ ), то при любых постоянных $ C_k$ функция $ G$ , заданная на объединении всех этих интервалов равенством

$\displaystyle G(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C_k$ при $\displaystyle x\in \bigl(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\bigr),\ k\in\mathbb{Z},$

будет давать $ G'(x)=\frac{1}{\cos^2x}$ . Эту функцию можно назвать первообразной для $ f(x)=\frac{1}{\cos^2x}$ с тем же правом, что и функцию $ F(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Заметим, что мы не можем утверждать, что $ G(x)=F(x)+\mathrm{const}$ в этом случае: $ C=C(x)=C_k$  -- это не постоянная, а кусочно постоянная на интервалах области определения тангенса функция. Итак, утверждение, что первообразная для $ \frac{1}{\cos^2x}$ имеет вид $ \mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ , нужно правильно понимать: либо имеется в виду, что при этом $ x$ изменяется лишь в пределах только одного из интервалов непрерывности тангенса, либо что $ C=C(x)$  -- кусочно постоянная на объединении этих интервалов функция.

Аналогично обстоит дело и в случае других функций, имеющих в качестве области определения объединение непересекающихся интервалов. Например, поскольку при всех $ x\ne0$ имеет место равенство

 

$\displaystyle \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)'=\frac{1}{x^2},$

то на объединении двух интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ первообразной для $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ будет служить любая функция $ G(x)=-\frac{1}{x}+C(x)$ , где $ C(x)=\left\{\begin{matrix} C_1,\text{ при }x<0;\\ C_2,\text{ при }x>0, \end{matrix}\right.$ а $ C_1$ и $ C_2$  -- произвольные постоянные.     

Выделение и инструмент Edit

Чтобы выполнять разные операции с данными вашего файла, вы должны иметь возможность эти данные выделять. В программе Sound Forge такая операция осуществляется несколькими способами. Самый распространенный способ — простое передвижение курсора мыши в пределах области диаграммы окна данных. Для этого включите инструмент Edit (в программе Sound Forge он используется для выделения данных), выбрав команду меню Edit -> Tool -> Edit. Вместо этого вы можете нажать на кнопку Edit Tool на стандартной панели инструментов или кнопку, расположенную на пересечении линейки времени и линейки уровней в окне данных. Затем просто выделите часть данных в области диаграммы окна данных. Интегральное исчисление функции нескольких переменной.

Совет

Во время работы со стереофоническими записями вы можете выделять данные по отдельности из левого и правого каналов или же из обоих каналов сразу. Чтобы выделить данные из обоих каналов, начертите прямоугольник вокруг нужного сегмента данных в средней (по горизонтали) части диаграммы. Чтобы выделить данные только из левого канала, начертите прямоугольник вокруг сегмента данных в верхней части диаграммы. При этом обратите внимание на то, что к курсору мыши присоединилась маленькая буква "L", напоминающая, что вы работаете только с данными левого канала. Чтобы выделить данные только из правого канала, начертите прямоугольник вокруг сегмента данных в нижней части диаграммы. Так же, как и в случае с левым каналом, рядом с курсором мыши должна появиться маленькая буква "R", говорящая о том, что будет выделена только информация из правого канала. Вычислить тройной интеграл , где Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Обратите внимание на то, что, когда вы выделяете часть данных в окне данных, значения строки состояния выделения изменяются. Первое значение показывает, где находится начало выделенной области, а второе — указывает на ее конец. Третье же значение отображает длину текущей выделенной области. Эти значения даются в том же формате, что и значения линейки времени. Изменение формата для линейки времени (для этого необходимо щелкнуть на линейке правой кнопкой мыши и выбрать подходящий формат из контекстного меню) приведет и к изменению формата для строки состояния выделения. Существует несколько способов выделения данных, назовем два из них: