Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Дадим теперь такое название множеству всех первообразных данной функции:

        Определение 1.1   Пусть $ f(x)$  -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для $ f(x)$ называется неопределённым интегралом от $ f(x)$ и обозначается $ \int f(x)\,dx$ . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции $ f(x)$ называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция $ f(x)$ , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции $ f(x)$ состоит из функций вида $ F(x)+C$ , где $ F(x)$  -- какая-либо фиксированная первообразная для $ f(x)$ , а $ C$  -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция $ f(x)$ . Поэтому можно написать такую формулу:

Функции нескольких переменных ПРИМЕР . Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. , область определения – часть плоскости : Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.$

(Точнее было бы $ \int f(x)\,dx=\{F(x)+C\}$ , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида $ F(x)+C$ , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство $ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ , достаточно проверить, что $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , то есть что $ F'(x)=f(x)$ . Поэтому таблица неопределённых интегралов для многих часто встречающихся функций сразу следует из таблицы производных, которую мы получили в первом семестре.

1) Поскольку $ (x^m)'=mx^{m-1}$ , то при $ m\ne0$ $ (\frac{1}{m}x^m)'=x^{m-1}$ и $ (\frac{1}{n+1}x^{n+1})'=x^n$ , если взять $ m=n+1$ . Поэтому при $ n\ne-1$

Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода. Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  ( 11 ).

$\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C.$

В частности, получаем при $ n=0$ (заметим, что $ x^0=1$ ):

$\displaystyle \int\,dx=x+C,$

при $ n=1$ (тогда $ x^1=x$ ):

$\displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^2+C,$

при $ n=2$ :

$\displaystyle \int x^2\,dx=\frac{1}{3}x^3+C,$

при $ n=-2$ (тогда $ x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C$

(заметим, что здесь $ C$  -- кусочно постоянная величина, принимающая постоянные значения $ C_1$ при $ x<0$ и $ C_2$ при $ x>0$ ), при $ n=\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ ):

$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3/2}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{2}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{1/2}x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C,$

при $ n=-\frac{1}{3}$ (тогда $ x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ):

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\frac{1}{2/3}x^{2/3}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная, поскольку подынтегральная функция задана на объединении двух интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ ), и т. п.

2) Пусть $ n=-1$ . Тогда $ \int x^{-1}\,dx=\int\frac{dx}{x}$ не задаётся формулой предыдущего пункта. Однако, согласно таблице производных, при $ x>0$ мы имеем $ (\ln x)'=\frac{1}{x}$ , следовательно, $ F(x)=\ln x=\ln\vert x\vert$  -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $ (0;+\infty)$ . Проверим, что при $ x<0$ функция $ \ln\vert x\vert=\ln(-x)$  -- первообразная для $ \frac{1}{x}$ на интервале $ (-\infty;0)$ . Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаем

$\displaystyle (\ln(-x))'=\frac{1}{-x}(-x)'=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.$

Итак, на объединении интервалов $ (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ ) функция $ F(x)=\ln\vert x\vert$ служит первообразной для $ f(x)=\frac{1}{x}$ , то есть

$\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная величина).

3) Поскольку, согласно таблице производных, при $ a>0, a\ne1$

$\displaystyle \bigl(\frac{1}{\ln a}a^x\bigr)'=\frac{1}{\ln a}\cdot a^x\ln a=a^x,$

то

$\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{1}{\ln a}a^x+C.$

В частности, при $ a=e$ получаем:

$\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C.$

4) Поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , получаем

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C.$

5) Поскольку $ (-\cos x)'=\sin x$ , получаем

$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C.$

6) Так как $ (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\frac{1}{\cos^2x}$ , то

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная функция; см. пример в замечании 1.1).

7) Аналогично, поскольку $ (\mathop{\rm ctg}\nolimits x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$ , получаем

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^2x}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits x+C$

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная функция на интервалах вида $ (k\pi;(k+1)\pi)$ , где $ k\in\mathbb{Z}$ ).

8) Табличная формула $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $ F(x)=\arcsin x$  -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ . Значит,

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C.$

Заметим, что в соответствии с примером 1.3 мы можем также написать:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\arccos x+C.$

(Значения $ C$ в двух последних формулах означают разные постоянные.)

Докажем также обобщение полученной формулы: если $ a>0$ , то на интервале $ (-a;a)$ имеем

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C.$

Для доказательства достаточно показать, что производная правой части равна подынтегральной функции:

$\displaystyle \bigl(\arcsin\frac{x}{a}\bigr)'= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2... ...frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a}= \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}. $

Разумеется, верна и формула

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{a}+C.$

9) Из табличной формулы $ (\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=\frac{1}{1+x^2}$ (при $ x\in(-\infty;+\infty)$ ) получаем, что

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x+C.$

Поскольку $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\frac{\pi}{2}$ при любом $ x$ , то функция $ -\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ так же, как и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ , служит первообразной для $ \frac{1}{1+x^2}$ . Значит, мы можем также написать

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=-\mathop{\rm arcctg}\nolimits x+C$

(с другим, однако, значением постоянной $ C$ , нежели в предыдущей формуле).

Докажем также следующее обобщение полученной формулы: если $ a>0$ , то

$\displaystyle \int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a}+C.$

Для доказательства найдём производную правой части:

$\displaystyle \bigl(\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a}\bigr)'= ... ...frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a}= \frac{1}{a^2+x^2}.$

Получили подынтегральную функцию, что и доказывает формулу.

Ясно, что имеет место также формула

$\displaystyle \int\frac{dx}{a^2+x^2}=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arcctg}\nolimits \frac{x}{a}+C.$

10) Докажем формулу

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$(1.1)

где $ k\ne0$  -- произвольное постоянное число. (Заметим, что при $ k>0$ формула имеет смысл для всех $ x\in\mathbb{R}$ , а при $ k<0$  -- для $ x\in(-\infty;-\sqrt{\vert k\vert})\cup(\sqrt{\vert k\vert};+\infty)$ , так что во втором случае величина $ C$  -- кусочно постоянная.) Для доказательства надо рассмотреть два случая: $ x+\sqrt{x^2+k}>0$ (при $ k>0$ возможен только этот случай; это неравенство имеет место также при $ k<0$ и $ x\in(\sqrt{\vert k\vert};+\infty)$ ) и $ x+\sqrt{x^2+k}<0$ (при $ k<0$ и $ x\in(-\infty;-\sqrt{\vert k\vert})$ ; поскольку $ k\ne0$ , случай равенства нулю невозможен). В первом случае имеем:

$\displaystyle (\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert)'= (\ln(x+\sqrt{x^2+k}))'=$   
$\displaystyle =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+k}}(x+\sqrt{x^2+k})'= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+k}}(1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+k}}(x^2+k)'=$   
$\displaystyle =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+k}}(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}= \frac{x+\sqrt{x^2+k}}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+k}}= \frac{1}{\sqrt{x^2+k}}.$   

Поскольку получили подынтегральную функцию, формула в этом случае доказана. Второй случай, когда $ \ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert=\ln(-(x+\sqrt{x^2+k}))$ , рассматривается аналогично.

Заметим, что функцию в правой части формулы (1.1) часто называют кдлинным логарифмом", в отличие от правой части формулы следующего пункта, тоже содержащей логарифм.

11) Пусть $ a>0$ и $ x\ne\pm a$ , то есть $ x\in(-\infty;-a)\cup(-a;a)\cup(a;+\infty)$ . Тогда

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\bigl\vert\frac{x-a}{x+a}\bigr\vert+C$(1.2)

(здесь $ C$  -- кусочно постоянная величина, которая на трёх интервалах изменения $ x$ может принимать три разных значения).

Рассмотрим два случая: $ \frac{x-a}{x+a}>0$ (это неравенство выполняется при $ {x\in(-\infty;-a)\cup(a;+\infty)}$ ) и $ {\frac{x-a}{x+a}<0}$ (это неравенство выполняется при $ {x\in(-a;a)}$ ). В первом случае имеем

$\displaystyle \Bigl(\frac{1}{2a}\ln\bigl\vert\frac{x-a}{x+a}\bigr\vert\Bigr)'= \frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{\frac{x-a}{x+a}}\cdot\bigl(\frac{x-a}{x+a}\bigr)'=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2a}\cdot\frac{x+a}{x-a}\cdot\frac{(x+a)-(x-a)}{(x+a)^2}= \frac{2a}{2a(x-a)(x+a)}=\frac{1}{x^2-a^2}.$   

Получили подынтегральную функцию, так что формула (1.2) в этом случае доказана. Случай $ \frac{x-a}{x+a}<0$ рассматривается аналогично.

Функцию, стоящую в правой части формулы (1.2), часто называют квысоким логарифмом".

12) Докажем формулу

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

(Здесь $ C$ постоянна на каждом из интервалов $ (k\pi;(k+1)\pi)$ , $ k\in\mathbb{Z}$ , из которых состоит область определения подынтегральной функции $ \frac{1}{\sin x}$ .)

Подсчитаем производную правой части в случае, когда $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}>0$ . Получаем:

$\displaystyle \Bigl(\ln\bigl(\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr)\Bigr)'=... ...rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}.$   

Случай $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}<0$ разбирается аналогично.

13) Имеет место также формула

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \bigl(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\bigr)\bigr\vert+C,$

доказательство которой предоставляется читателю в качестве упражнения.

Выделение и инструмент Edit

Чтобы выполнять разные операции с данными вашего файла, вы должны иметь возможность эти данные выделять. В программе Sound Forge такая операция осуществляется несколькими способами. Самый распространенный способ — простое передвижение курсора мыши в пределах области диаграммы окна данных. Для этого включите инструмент Edit (в программе Sound Forge он используется для выделения данных), выбрав команду меню Edit -> Tool -> Edit. Вместо этого вы можете нажать на кнопку Edit Tool на стандартной панели инструментов или кнопку, расположенную на пересечении линейки времени и линейки уровней в окне данных. Затем просто выделите часть данных в области диаграммы окна данных. Интегральное исчисление функции нескольких переменной.

Совет

Во время работы со стереофоническими записями вы можете выделять данные по отдельности из левого и правого каналов или же из обоих каналов сразу. Чтобы выделить данные из обоих каналов, начертите прямоугольник вокруг нужного сегмента данных в средней (по горизонтали) части диаграммы. Чтобы выделить данные только из левого канала, начертите прямоугольник вокруг сегмента данных в верхней части диаграммы. При этом обратите внимание на то, что к курсору мыши присоединилась маленькая буква "L", напоминающая, что вы работаете только с данными левого канала. Чтобы выделить данные только из правого канала, начертите прямоугольник вокруг сегмента данных в нижней части диаграммы. Так же, как и в случае с левым каналом, рядом с курсором мыши должна появиться маленькая буква "R", говорящая о том, что будет выделена только информация из правого канала. Вычислить тройной интеграл , где Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Обратите внимание на то, что, когда вы выделяете часть данных в окне данных, значения строки состояния выделения изменяются. Первое значение показывает, где находится начало выделенной области, а второе — указывает на ее конец. Третье же значение отображает длину текущей выделенной области. Эти значения даются в том же формате, что и значения линейки времени. Изменение формата для линейки времени (для этого необходимо щелкнуть на линейке правой кнопкой мыши и выбрать подходящий формат из контекстного меню) приведет и к изменению формата для строки состояния выделения. Существует несколько способов выделения данных, назовем два из них:

сверлильный станок
Кожанные итальянские сумки.