Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

Определение тройного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

$\displaystyle dy= \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+ \frac{\partial f}{\... ...l f}{\partial x_n}(x)dx_n= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy= \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+ \frac{\partial h}{\... ...tial h}{\partial u_n}(u)du_n= \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl( \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\... ... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u)) \Bigl( \su... ... dg_i(u;du)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u)) dx_i(u;du).$   

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

 

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial x_i}(x) dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.


[an error occurred while processing this directive]