Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Матрица Гессе

Двойная сумма в формуле (9.8) содержит в качестве коэффициентов значения всех частных производных второго порядка, вычисленные в точке $ x^0$ . Эти $ n^2$ значений $ h_{ij}=\frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_i\pat x_j}}(x^0)$ можно объединить в квадратную матрицу $ H(x^0)=(h_{ij})$ размера $ n\times n$ . Эта матрица $ H(x^0)$ называется матрицей Гессе функции $ f(x)$ в точке $ x^0$ .

Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то

Математика лекции и задачи Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

$\displaystyle h_{ij}=\frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_i\pat x_j}}(x^0)= \frac{\textstyle{\pat^2f}}{\textstyle{\pat x_j\pat x_i}}(x^0)=h_{ji},$

так что матрица Гессе в этом случае симметрична: $ {}^tH(x^0)=H(x^0)$ (знак $ {}^t$ означает транспонирование матрицы).

Заметим, что линейную часть правой части формулы (9.8) можно представить в виде

Площадь криволинейной трапеции Тройные и двойные интегралы при решении задач

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)= (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)$

(точка означает скалярное произведение), а квадратичную часть, заданную двойной суммой в формуле (9.8), -- в виде

$\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)(x_i-x^0_i)(x_j-x^0_j)= \frac{1}{2}\;{}^t(x-x^0)H(x^0)(x-x^0);$

при этом мы считаем вектор $ x-x^0$ записанным в виде матрицы-столбца, а транспонированный вектор $ {}^t(x-x^0)$  -- в виде матрицы-строки. Тем самым, получаем формулу квадратичного приближения в виде

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)+ \frac{1}{2}\;{}^t(x-x^0)H(x^0)(x-x^0),$

где $ H(x^0)$  -- матрица Гессе.

В случае, когда $ x^0$  -- стационарная точка функции $ f(x)$ , градиент обращается в 0 в точке $ x^0$ , так что получаем

$\displaystyle {\Delta}f=f(x)-f(x^0)\approx \frac{1}{2}\;{}^t{\Delta}xH(x^0){\Delta}x,$

где $ {\Delta}x$  -- приращение аргумента $ x$ в точке $ x^0$ . Таким образом, в окрестности стационарной точки приращение функции ведёт себя как квадратичная функция приращения аргумента:

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)\approx \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0){\Delta}x_i{\Delta}x_j.$

        Пример 9.1   Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

Покажем, что начало координат $ O(0;0)$  -- это стационарная точка функции $ f$ , и найдём квадратичное приближение функции $ f$ в окрестности начала координат.

Частные производные первого порядка равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=(2x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+x_2^2e^{x... ...;\ % \frac{\partial f}{\partial x_2}=x_1^2e^{x_1+x_2}+(2x_2-x_2^2)e^{x_1-x_2}.$

При $ x_1=0$ и $ x_2=0$ обе частные производные, действительно, обращаются в 0, так что точка $ O$  -- стационарная. Вычислим элементы матрицы Гессе $ H(0;0)$ функции $ f$ в точке $ O$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}=(2+4x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2};$

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^2f}{\pat x_2\pat x_1}= (2x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+(2x_2-x^2_2)e^{x_1-x_2};$

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_2^2}=x_1^2e^{x_1+x_2}+(2-4x_2+x^2_2)e^{x_1-x_2}.$

При $ x_1=0$ и $ x_2=0$ получаем:

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}(0;0)=2; \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^2f}{\pat x_2\pat x_1}=0; \frac{\pat^2f}{\pat x_2^2}=2. $

Значит,

$\displaystyle H(0;0)= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}.$

Так как значение $ f(0;0)$ равно 0, то квадратичное приближение функции $ f(x)$ в окрестности начала координат выглядит так:

 

$\displaystyle f(x_1;x_2)\approx\frac{1}{2}\;(x_1;x_2) \begin{pmatrix} 2&0\\ ... ...{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}(2x_1^2+2x_2^2)=x_1^2+x_2^2.$

Таким образом, при небольших $ \vert x\vert$ функция приближённо равна $ \vert x\vert^2$ .     

[an error occurred while processing this directive]