Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке   выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись: Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись: Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Пример 3. Прямоугольный сосуд наполнен водой и маслом в равных по объему частях, причём масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления смеси на боковую стенку уменьшиться на одну пятую, если воду заменить маслом.

Решение. Пусть h- глубина сосуда, l- длина стенки. Введем систему координат так, как показано на рис. 9.3. Так как масло располагается над водой и занимает верхнюю половину сосуда, то сила Подпись:

давления  масла на верхнюю половину стенки равна

 

 

 

Давление на глубине x>h/2 слагается из давления столба масла высотой h/2 и столба высотой x-h/2 и потому

 

Следовательно, сила давления смеси на нижнюю половину стенки равна

Полное давление смеси на стенку равно

Если бы сосуд был наполнен только маслом, то сила давления  на ту же стенку была бы равна

 

Следовательно,

Пример 4. Электрический заряд Е, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (b, 0). Определить работу А силы отталкивания F.

Решение. Дифференциал работы силы на перемещении dx равен

Отсюда

 

При b®¥ работа А стремится к величине eE/a.

Пример 5. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом Р с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

Решение. Обозначим через F величину силы притяжения ракеты Землёй. Пусть -масса ракеты, -масса Земли. Согласно закону Ньютона 

Где х- расстояние от ракеты до центра Земли. Полагая  получим F(x)=K/, R£x£h+R, R- радиус Земли. При x=R сила F(R) будет весом ракеты Р, т. е.  откуда  и

Таким образом, дифференциал работы есть

 

Интегрируя, получим

 

Предел

 

Равен работе, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения (движение Земли при этом не учитывается).

Пример 6. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса R, вращающийся с угловой скоростью w вокруг своего диаметра?

Решение. Количество необходимой работы равно кинетической энергии шара. Для подсчета этой энергии разобьём шар на концентрические полые цилиндры толщины dx; скорость точек такого цилиндра радиуса х есть wх.

Дифференциал объёма такого цилиндра равен   дифференциал массы dM=gdV, где g- плотность железа, дифференциал кинетической энергии

Отсюда

 

Пример 7. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током

в течение периода Т в проводнике с сопротивление R.

Решение. Для постоянного тока количество тепла в единицу времени определяется законом Джоуля – Ленца

 

При переменном токе дифференциал количества тепла равен  откуда

В нашем случае

Подгонка выделенной области

Во многих случаях вам может понадобиться подогнать начало и (или) конец выделенной области к определенному значению времени на линейке времени. С помощью мыши это сделать достаточно сложно, но программа Sound Forge располагает возможностями, полезными для разрешения этой ситуации:

  • чтобы подогнать обе границы выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Time;
  •  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time;
  •  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двухсторонней стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time.

Еще важнее бывает иметь возможность подогнать начало и (или) конец выделенной области к нулевому уровню данных на диаграмме сигналов.

Замечание

Помните описание нулевой оси, приведенное в главе 6? Любая точка на диаграмме сигналов, лежащая на нулевой оси, называется нулевым уровнем. По мере того как сигнал перемещается вверх и вниз, он пересекает нулевую ось.

Почему так важно, чтобы ваши выделенные области были выровнены с нулевым уровнем? Потому что нулевой уровень характеризуется отсутствием какого бы то ни было звука, поэтому он очень удобен при редактировании данных, например когда вы вырезаете и вставляете отдельные части файла. Если, редактируя файл, вы не используете нулевой уровень, существует возможность возникновения шумов в виде слышимых щелчков и потрескиваний. Это может случиться по разным причинам — например, если вы вырезаете отрезок данных, начинающийся с точки, содержащей звук, а не тишину. Шумы также могут возникнуть, когда вы сводите два отрезка данных — если эти отрезки не ограничены нулевым уровнем, трудно гарантировать, что они идеально сойдутся.

Чтобы подогнать выделенную область к нулевому уровню, сделайте следующее:

  •  чтобы подогнать начало и конец выделенной области к ближайшим нулевым уровням, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Zero;
  •  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero;
  •  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero.

Совет

Если вы хотите, чтобы ваши выделенные области автоматически подгонялись к округленному значению времени или к нулевому уровню, выберите пункты Auto Snap To Time или Auto Snap To Zero меню Options.

горящие туры из казани