Определение координат центра тяжести.

Во всех задачах этого параграфа мы будем считать, что масса равномерно распределена по телу (линейному, плоскому, пространственному) и что плотность равна единице.

1. Для плоской кривой L статические моменты  и  относительно координатных осей Ох и Оу выражаются формулами 

Момент инерции относительно начала координат

При задании кривой L явным уравнением  в этих формулах надо заменить dl на

При задании кривой L параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t)   в этих формулах надо заменить dl на

2. Для плоской фигуры, ограниченной кривыми  и прямыми x=a, x=b (a£x£b) статические моменты выражаются формулами

3. Центр тяжести плоской кривой L имеет координаты  где l- длина кривой L. Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты  где S- площадь фигуры.

Пример 1. Найти статический момент верхней части эллипса относительно оси Ох. 

Решение. Для эллипса

так как

 и  

то

где e- эксцентриситет эллипса, .

Интегрируя от –а до а, находим

В случае окружности, т. е. При a=b, будем иметь , так как при этом e=0 и

Пример 2. Найти момент инерции прямоугольника с основанием b и высотой h относительно его основания.

Решение (sucks). Выделим из прямоугольника элементарную полоску, параллельную основанию, отстоящею от основания на расстоянии у и имеющую ширину dy.

Масса полоски равна её площади dS=bdy, а расстояния от всех её точек до основания равны у с точностью до dy. Поэтому  и

Пример 3. Вычислить момент инерции относительно оси Оу фигуры, ограниченной параболой   и прямой х=а.

Решение. Имеем , где dS- площадь вертикальной полоски на расстоянии х от оси Оу (рис. 10. 1);

Отсюда

Пример 4. При расчёте балочных деревянных мостов часто приходится иметь дело с круглыми брёвнами, отёсанными на два канта (рис. 10. 2). Определить момент инерции подобного сечения относительно горизонтальной средней линии.

Решение. Расположим систему координат, как показано на рисунке. Тогда (обозначения см. на рис. 10. 2)  где dS=Mndy=2xdy=2

Отсюда 

Произведя подстановку  = получим