Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Вычисление статических моментов и моментов инерции.

Определение координат центра тяжести.

Во всех задачах этого параграфа мы будем считать, что масса равномерно распределена по телу (линейному, плоскому, пространственному) и что плотность равна единице.

1.  Для плоской кривой L статические моменты  и  относительно координатных осей Ох и Оу выражаются формулами 

Момент инерции относительно начала координат

При задании кривой L явным уравнением  в этих формулах надо заменить dl на

При задании кривой L параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t)   в этих формулах надо заменить dl на

2. Для плоской фигуры, ограниченной кривыми  и прямыми x=a, x=b (a£x£b) статические моменты выражаются формулами

3. Центр тяжести плоской кривой L имеет координаты  где l- длина кривой L. Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты  где S- площадь фигуры.


Пример 1. Найти статический момент верхней части эллипса относительно оси Ох. 


Решение. Для эллипса

  

так как

 и  

то

 

где e- эксцентриситет эллипса, .

Интегрируя от –а до а, находим

 


В случае окружности, т. е. При a=b, будем иметь , так как при этом e=0 и

 

 

Подпись: Рис. 10.1 Пример 2. Найти момент инерции прямоугольника с основанием b и высотой h относительно его основания.

Решение (sucks). Выделим из прямоугольника элементарную полоску, параллельную основанию, отстоящею от основания на расстоянии у и имеющую ширину dy.

Масса полоски равна её площади dS=bdy, а расстояния от всех её точек до основания равны у с точностью до dy. Поэтому  и


Пример 3. Вычислить момент инерции относительно оси Оу фигуры, ограниченной параболой   и прямой х=а.

Решение. Имеем , где dS- площадь вертикальной полоски на расстоянии х от оси Оу (рис. 10. 1);


Отсюда


Пример 4. При расчёте балочных деревянных мостов часто приходится иметь дело с круглыми брёвнами, отёсанными на два канта (рис. 10. 2). Определить момент инерции подобного сечения относительно горизонтальной средней линии.

Решение. Расположим систему координат, как показано на рисунке. Тогда (обозначения см. на рис. 10. 2)  где dS=Mndy=2xdy=2


Отсюда 

Произведя подстановку  = получим


В частности, при h=R получаем момент инерции круга относительно одного из диаметров:  

Подгонка выделенной области

Во многих случаях вам может понадобиться подогнать начало и (или) конец выделенной области к определенному значению времени на линейке времени. С помощью мыши это сделать достаточно сложно, но программа Sound Forge располагает возможностями, полезными для разрешения этой ситуации: Пределы

  • чтобы подогнать обе границы выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Time;
  •  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time;
  •  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двухсторонней стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Еще важнее бывает иметь возможность подогнать начало и (или) конец выделенной области к нулевому уровню данных на диаграмме сигналов.

Задача.  Дано векторное поле и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d  с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля   через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике