Аналитическая геометрия

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) плоскости Оху.

 Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора ,т.е.

Деление отрезка в данном отношении. Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х₁;у₁)и B(x₂;y₂) в заданном отношении l > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что  (см. рис. 4).

 Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении l, если

. (1)

Но т.е.  и т.е.  Уравнение (1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем

 т.е.  (2)

 т.е.  (3)

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при l=1, т.е. если АМ=МВ, то они примут вид , .  В этом случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если l = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если l < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (l¹ -1 , т. к. в противном случае  т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами А(х₁;у₁),В(х₂; y₂), С(х₃;у₃).

 Решение: Опустим из вершин А, В, С пер­пендикуляры АА₁, BB₁, CC₁ на ось Ох (см. рис. 5). Очевидно, что

.

Поэтому

 т.е.

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры