Аналитическая геометрия

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

3. Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе O₁x₁y ₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (x₀;y₀) в старой системе координат Оxy, т.е. О₁(x₀;y₀). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Oxy через (x;y), а в новой системе О₁x₁y₁­ через  (см. рис. 6).

Рассмотрим векторы

Так как то т.е.

Следовательно

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование ко­ординат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система 0\х\у\ получена поворотом •системы Оху на угол а.

Пусть М — произвольная точка плоскости, (а;; у) — ее координаты в старой системе и (х', у') — в

новой системе.

Введём две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах оди­наков, а полярные углы соответственно равны a + j и j, где j - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

 т.е.

Но и

Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они по­зволяют определять старые координаты  (x;у) произвольной точки М че­рез новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O₁х₁у₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол a (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы  легко по­лучить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точ­ки через её новые координаты х' и у'.

Аналитическая геометрия

 

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Нужны деньги? автоломбард в торговом центре Калужский Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Компания Ротек - это продажа картриджей очень выгодно Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Стеклянные витрины для торговых комплексов Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций ели искусственные Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры