Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то­чек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свой­ством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плос­кости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо, уо) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Пример 2.1. Лежат ли точки К(-2; 1) и L(1; 1) на линии 2х+у+3=0?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (-2) +1-3=0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т.к.2•1+1+3 ¹0.

 

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F\(x;y) == 0 и F^(,x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; j) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

 (4)

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x=t+l, y=t2,тo значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3,  у = 22 = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (4) - параметрическими уравнениями ли­нии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению ви­да F(x; у) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = x2; или , т.е. вида F(x;у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравне­нием , где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению to соответствует

 определенный вектор  

плоскости. При изменении параметра t конец вектора  опишет некоторую линию (см. рис. 9).

Векторному уравнению линии  в системе коор­динат Оху соответствуют два скалярных уравнения (4), т. е. уравнения проекций на оси координат вектор­ного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща­ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (вы­ражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (x - 2)2 + (у - З)2 = 0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х2 + у2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).


В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные за­дачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 10-18 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

 

  

Рис. 10. Окружность радиуса R

Подпись: Рис. 14. Полукубическая парабола Уравнение кривой   у2 = х3 или
 
Подпись: Рис. 15. Астроида
Уравнение в прямоугольных координатах:
 ; параметрические уравнения:

или  

 

 

 

 

 

 

Подпись: Рис. 12. Трехлепестковая роза
В полярных координатах ее уравнение имеет вид r = а  cos 3 × j, где а > 0.
Рис. 11. Лемниската Бернулли

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2 + у2)2 - a2 (x2 - у2) = 0, a > 0; в полярных

координатах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Рис. 40. Циклоида

Параметрические уравнения циклоиды имеют видгде a > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по непо­движной прямой.

Подгонка выделенной области

Во многих случаях вам может понадобиться подогнать начало и (или) конец выделенной области к определенному значению времени на линейке времени. С помощью мыши это сделать достаточно сложно, но программа Sound Forge располагает возможностями, полезными для разрешения этой ситуации:

  • чтобы подогнать обе границы выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Time;
  •  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time;
  •  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двухсторонней стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time.

Еще важнее бывает иметь возможность подогнать начало и (или) конец выделенной области к нулевому уровню данных на диаграмме сигналов.

Замечание

Помните описание нулевой оси, приведенное в главе 6? Любая точка на диаграмме сигналов, лежащая на нулевой оси, называется нулевым уровнем. По мере того как сигнал перемещается вверх и вниз, он пересекает нулевую ось.

Почему так важно, чтобы ваши выделенные области были выровнены с нулевым уровнем? Потому что нулевой уровень характеризуется отсутствием какого бы то ни было звука, поэтому он очень удобен при редактировании данных, например когда вы вырезаете и вставляете отдельные части файла. Если, редактируя файл, вы не используете нулевой уровень, существует возможность возникновения шумов в виде слышимых щелчков и потрескиваний. Это может случиться по разным причинам — например, если вы вырезаете отрезок данных, начинающийся с точки, содержащей звук, а не тишину. Шумы также могут возникнуть, когда вы сводите два отрезка данных — если эти отрезки не ограничены нулевым уровнем, трудно гарантировать, что они идеально сойдутся.

Чтобы подогнать выделенную область к нулевому уровню, сделайте следующее:

  •  чтобы подогнать начало и конец выделенной области к ближайшим нулевым уровням, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Zero;
  •  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero;
  •  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero.

Совет

Если вы хотите, чтобы ваши выделенные области автоматически подгонялись к округленному значению времени или к нулевому уровню, выберите пункты Auto Snap To Time или Auto Snap To Zero меню Options.

Ищем коммерческую недвижимость: аренда офис москва собственник .