Аналитическая геометрия

2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то­чек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свой­ством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плос­кости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х_о, у_о) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Пример 2.1. Лежат ли точки К(-2; 1) и L(1; 1) на линии 2х+у+3=0?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (-2) +1-3=0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т.к.2•1+1+3 ¹0.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F\(x;y) == 0 и F^(,x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; j) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

 (4)

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x=t+l, y=t²,тo значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3,  у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (4) - параметрическими уравнениями ли­нии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению ви­да F(x; у) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = x²; или , т.е. вида F(x;у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравне­нием , где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t_o соответствует

 определенный вектор  

плоскости. При изменении параметра t конец вектора  опишет некоторую линию (см. рис. 9).

Векторному уравнению линии  в системе коор­динат Оху соответствуют два скалярных уравнения (4), т. е. уравнения проекций на оси координат вектор­ного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща­ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (вы­ражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (x - 2)² + (у - З)² = 0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х² + у² + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные за­дачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 10-18 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 10. Окружность радиуса R

или  

Рис. 11. Лемниската Бернулли

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x² + у²)² - a² (x² - у²) = 0, a > 0; в полярных

координатах:

Рис. 40. Циклоида

Параметрические уравнения циклоиды имеют видгде a > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по непо­движной прямой.

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры